بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية كامل

بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية كامل، سنناقش في البحث موضوعا عن خصائص وأنواع المتتاليات الحسابية والهندسية والمتتاليات بتفصيل كامل، حيث أنها من الموضوعات المهمة في الرياضيات خاصة للطلاب في المرحلتين الإعدادية والثانوية وهو موضوع سهل عندما نتناوله بكل بساطة وسهولة في البحث سنناقش كل نوع منهم مع أمثلة، يلعب شرح وفهم المتتاليات دورا رئيسيا في البناء الرياضي، حيث توجد العديد من التطبيقات الرياضية التي تستخدم الرياضيات سنتحدث هنا عن بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية كامل.

تعريف متسلسل

المتتاليات هي مجموعة من الأرقام ، ولكل رقم فيها نمط مرتبط بما يأتي قبله وبعده. عادةً ما تتبع التسلسلات نمطًا معينًا وترتيبًا خاصًا يحكم كل رقم فيه ، ويطلق على كل رقم فيه رقم الحد.
مثال على التسلسلات: إذا افترضنا أن لدينا مربعات متتالية ، وفي كل صندوق يوجد عدد من الكرات ، فإن ترتيب الصندوق هو الرقم المحدد وليس المربع نفسه هو الرقم المحدد ، وعدد الكرات التي داخل المربع يسمى القيمة المحددة.
أو إذا افترضنا أن لدينا قطارًا ويوجد في القطار عشرين سيارة ، وفي كل سيارة عدد من الركاب ، والعربات هي أرقام الحدود ، وعدد الركاب هو قيمة الحد ، على سبيل المثال ، في السيارة رقم 15 يوجد حوالي 12 راكبًا ، والرقم 15 هو رقم الحد والرقم 12 هو القيمة الحدية.

أنواع التسلسلات

هناك أنواع من التسلسلات حيث يوجد التسلسل المحدود ، وهو التسلسل الذي يتم التعبير عن عدد مصطلحاته بالرمز n ، ووظيفة المجال الخاصة به على النحو التالي: {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، … ، n} ، و المجال المقابل لها هو h.
أما بالنسبة للتسلسل اللانهائي ، فهو الوظيفة الموجودة في مجال الأعداد الطبيعية التي يرمز إليها الرمز i ، والحقل المقابل لها هو الأرقام الحقيقية التي يرمز إليها الرمز h.

تحديد سلسلة

السلسلة هي مجموع شروط التسلسل ، حيث تتطلب السلسلة وجود تسلسل ، وقد أوضحنا التسلسل في الماضي ، ويجب تطبيق تعريف السلسلة على المتواليات.

بما أن السلسلة هي مجموع المصطلحات الموجودة في التسلسل ، والسلسلة موجودة في شكل أرقام متتالية أيضًا ، كما هو الحال مع المتتاليات.

تحديد المتتاليات الحسابية

سواء كان التسلسل محدودًا أم لا نهائيًا ، يُسمى التسلسل الحسابي ، وإذا وجدنا أن التسلسل يزداد برقم ثابت لأن النتيجة هي رقم ثابت عندما يتم طرح أي مصطلح لاحق من المصطلح الذي يسبقه ، فهو عبارة عن عملية حسابية تسلسل.
عندما يكون الاختلاف لجميع قيم n في التسلسل ، ويكون الرمز r هو رمز ثابت الاختلاف أو القاعدة الثابتة للتسلسل.
وقانون إيجاد أي حد في متتالية حسابية هو كالتالي: (الحد n ، أو نقول له الحد الأول ، هو الحد رقم ناقص 1 ، و r هو الفرق الثابت.
تحديد المتتالية الحسابية من الضروري معرفة ما إذا كان التسلسل حسابيًا أم لا عن طريق حساب الفرق بين المصطلحات وفقًا للقانون التالي: (a2-a1) ، (a3-a2) ، (a4-a3).
إذا: ((a2-a1) = (a3-a2) = (a4-a3 يكون التسلسل حسابيًا ، لكن في حالة (a2-a1) ≠ (a3-a2) ≠ (a4-a3) ، يكون التسلسل متسلسلة لا حسابية.
المتتاليات المنتهية هي من الشكل: d {1،2،3 ، … ، m} → h ، بينما في التسلسلات اللانهائية تكون: d: i → h.
{h} عبارة عن تسلسل حسابي إذا كان هناك رقم ثابت d بحيث أن d = hn +1 – hn ، لجميع قيم n ، و d تسمى أساس المتسلسلة.

مثال على متتالية حسابية

مثال: هل التسلسل التالي الذي نسميه {h} = {15،11،7،3،…} هل هو تسلسل حسابي أم لا؟ دعنا نحل: نحتاج إلى الحصول على القيمة الثابتة لجميع القيم في المتسلسلة ، ونجد أن الفرق بينهما هو مقدار متساوٍ ، وهو الرقم (4) ، وهو حسابي.
مثال آخر لنفس القانون: أوجد الحد الثالث عشر في التسلسل الحسابي التالي: {1، -3، -7، -11،….} ، الحل كما يلي: قاعدة المتتابعة = (-3-1 = -4) للحد الأول ، ثم (H13) = 1 + (13-1) x -4 = 1 + (-48) = -47.
مثال آخر للتوضيح: إذا كان مجموع ثلاث حدود متتالية في متتالية حسابية هو 6 ، وحاصل ضربهم -42 ، فما هي المصطلحات الثلاثة؟ الحل هو: {-3، 2، 7}.

بعض الملاحظات حول المتتالية الحسابية

الحد النوني من المتتالية الحسابية هو: h = a + (n – 1) d ، a هو الحد الأول ، d هو أساس المتسلسلة.
والمتوسطات الحسابية بين العددين A و B هي حدود المتتالية ، لأن حدها الأول هو A والحد الأخير فقط هو B.
أمثلة على الملاحظات: هل التسلسل: {h} = {15 ، 11 ، 7 ، 3 ، …..} حسابي أم لا؟ التسلسل حسابي لأن hn +1 – hn = 4 لجميع القيم.
مثال آخر: ابحث عن الحد الثالث عشر (h13) في التسلسل الحسابي التالي: {1، -3، -7، -11،….} ، قاعدة المتتابعة (د) = -3-1 = -4 ، لذلك المصطلح الأول هو (أ) = 1 ، ثم h13 = 1 + (13-1) × -4 = 1 + (- 48) = – 47.
مثال للتوضيح ، أدخل خمس وسائل حسابية بين العددين التاليين لتعطينا متتالية حسابية ، -13 ، 245 ؟. الحل: أ = -13 ، ع = 245 ، ن = 7 ، د =؟ بموجب القانون ، h = a + (n – 1) d ، 245 = -13 + (7-1) xd ، لذا d = 43 ، فالوسيلة هي: 30 ، 73 ، 116 ، 159 ، 202.

التسلسلات الهندسية

قد تكون المتتاليات الهندسية محدودة أو غير محدودة ، وتسمى هندسية إذا وجدنا أن هناك عددًا ثابتًا فيها ، بحيث يكون قسمة أي مصطلح لاحق على المصطلح الذي يسبقه مساويًا لهذه المقدار الثابت.
لجميع قيم n ، يسمى r بالفرق الثابت أو أساس التسلسل.
لإيجاد أي حد في المتتابعة الهندسية ، نستخدم القانون: الحد النوني ، الحد الأول ، رقم الحد ناقص 1 ، الفرق الثابت.
لتحديد ما إذا كان التسلسل هندسيًا أم حسابيًا أم لا ، يجب أن نشير إلى النسبة (a2 / a1) ، والنسبة (a3 / a2) ، والنسبة (a4 / a3) ، وبالتالي يمكننا النظر إلى ما يلي مثال: إذا: (a2 / a1) = (a3 / a2) = (a4 / a3) ، إذن التسلسل هندسي.
في حالة (a2 / a1) ≠ (a3 / a2) ≠ (a4 / a3) ، يكون التسلسل غير هندسي.
دعونا نعطي مثالاً ، هل التسلسل التالي هندسي أم لا؟ ننظر في هذا التسلسل لنجد ما إذا كان هندسيًا أم لا {3، 6، 12،… ..}؟ الحل هو: التسلسل صحيح وهندسي لأن قيمة النسبة الثابتة (6/3) = (12/6) هي (2).
مثال آخر: ابحث عن الحد العاشر في التسلسل التالي: {2/1، -2،1،….}. الحل: هذا التسلسل هندسي ، والحد الأول = 2/1 ، والنسبة الثابتة وفقًا لذلك هي = (-1 ÷ 2/1 = -2) ، لذا (H10) = 2/1 x -92 = 1/1 س (-512)) = 256.

ملاحظات على التسلسلات الهندسية

الحد النوني من المتتابعة الهندسية هو: hn = a rn – 1 ، حيث a هو الحد الأول ، و t هو أساس المتتابعة.
المتوسط الهندسي بين العددين a و b هما حدود المتتالية التي يكون فيها الحد الأول a ، والحد الأخير هو b.
إذا كانت الأرقام a و b و c عناصر تسلسل هندسي ، فإن b هو المتوسط الهندسي ، حيث:
أ / ب = ب / ج → ب = زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ أ × ج.

تمارين التسلسل الهندسي

أوجد عدد الحدود بين 13 و 100 وكل حد يقبل القسمة على 6؟ (n = 14 حدًا والحد الأخير = 96. الحل: التسلسل هندسي ونستخدم t = n +1 ÷ hn لجميع قيم n ، و t يسمى أساس الاستمرارية.
على سبيل المثال ، حدد ما إذا كان التسلسل التالي هندسيًا أم لا: 3 ، 6 ، 12 ، …..؟ ، التسلسل هندسي لأن hn +1 ÷ hen = 2 ، لجميع قيم n.

استخدم التسلسلات

المتتاليات هي مجموعة من الأرقام التي لها نمط معين ، ويتم استخدامها في العديد من العمليات التي يعتمد عليها البناء ، ويعتمد عليها البناء الرياضي ، فضلًا عن استخدامها في العديد من التطبيقات الرياضية.
على سبيل المثال ، غالبًا ما يتم استخدام التسلسلات عندما نحتاج إلى جدولة الديون المتبقية على الشخص ، وتستخدم التسلسلات لحساب الأقساط وتستخدم في عمليات أخرى ، وخاصة العمليات المصرفية.

هنا وصلنا إلى نهاية البحث عن المتتاليات والمتتاليات الحسابية والهندسية، حيث تناولنا بعض الأمثلة على المتتاليات الحسابية وأعطينا أمثلة عن المتتاليات الهندسية، كما تحدثنا عن استخدام المتتاليات وكيفية تطبيقها في كثير من الأمور، وطرحنا الأمثلة والأسئلة ووضعنا الحلول لها لتدريب القارئ وإيصال المعلومات في البحث بشكل واضح.